Nota Técnica Nº 77 -- Fundamental NAFEMS 2D Plasticity Nonlinear Benchmark

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ANALISIS PLASTICO NO LINEAL 2D

Productos: COSMOS/M Geostar + NSTAR
Versión: Todas las Versiones
Categoría: Preprocesado, Análisis y Postprocesado
Ultima revisión: Enero-2002

Este problema consiste en una geometría 2D simple sujeta a desplazamientos prescritos en los ejes-X e Y que presenta aspectos muy interesantes del comportamiento plástico no lineal, tales como:

	Fluencia bi-axial.
	Plasticidad perfecta.
	Endurecimiento isotrópico.
	Flujo plástico.
	Descarga y consiguiente recarga.
	Tensiones residuales tras la descarga.
	Desplazamientos nodales prescritos.

Este problema se ha tomado del libro de NAFEMS "Understanding Non-Linear Finite Element Analysis" y se ha resuelto con el módulo No Lineal de COSMOS/M NSTAR con el objetivo de servir de Tutorial y Ayuda para nuestros clientes y usuarios del programa de Análisis por Elementos Finitos COSMOS/M.

1. Definición del Problema:

Una placa cuadrada se estira en las direcciones X e Y y se lleva de nuevo a su posición original. La placa es lo suficiente gruesa en la dirección del eje-Z para que el problema se pueda considerar como de "deformación plana" (plane strain).

Los desplazamientos prescritos se realizan en 8 pasos, tal como muestra la figura:

	Estiramiento en el eje-X hasta que la placa alcanza el límite elástico, seguido de más estiramiento en el eje-X hasta el flujo plástico, es decir, comportamiento post-fluencia.
	Estiramiento en el eje-Y en dos pasos.
	Compresión en el eje-X en dos pasos.
	Compresión en el eje-Y en dos pasos.

Al final del último paso de carga, la placa regresa a su posición y dimensiones originales.

Definición del Problema

Las propiedades elásticas de la placa son las siguientes: Módulo de Elasticidad (EX) = 250e3 N/mm2, y Módulo de Poisson (NUXY) = 0.25. Se utilizan dos modelos de plasticidad:

	von Mises Elástico-Perfectamente Plástico: límite elástico (SIGYLD) = 5.0 N/mm2, y módulo tangente (ETAN) = 0.0
	von Mises Elasto-Plástico con Endurecimiento Isotrópico: SIGYLD = 5.0 N/mm2, y ETAN = 50.0e3 N/mm2

La siguiente tabla resume los datos de partida del problema:

Geometría:

Dimensiones:

Deformación Plana (2D Plain Strain) -- L = 1.0 mm

Propiedades
del Material:

EX = 250e3 N/mm2
NUXY = 0.25
Modelos de Plasticidad:
1. Perfectamente Plástico -- SIGYLD = 5.0 N/mm2
2. Endurecimiento Isotrópico -- ETAN = 50.0e3 N/mm2

Condiciones
de Contorno:

Ux=0 en la línea A-D
Uy=0 en la línea A-B
Ux= d_x en la línea B-C
Uy=d_y en la línea D-C

d_x y d_y se aplican en 8 pasos como sigue (R = 2.5e5 mm):

Paso	Desplazamiento	d_x	d_y

Step#1	DUx=R	R	0.0
Step#2	DUx=R	2R	0.0
Step#3	DUy=R	2R	R
Step#4	DUy=R	2R	2R
Step#5	DUx=-R	R	2R
Step#6	DUx=-R	0.0	2R
Step#7	DUy=-R	0.0	R
Step#8	DUy=-R	0.0	0.0

2. Solución de Referencia:

La solución de referencia de este problema es una solución numérica con malla refinada en la cual se utiliza un gran número de incrementos de carga (Hinton & Ezatt [1987]). La solución analítica exacta sólo está disponible para el caso perfectamente plástico usando el criterio de fluencia de von Mises. Las siguientes figuras muestran la variación de las componentes de tensión de la solución de referencia para cada paso y para cada modelo de material:

Modelo de Material Elástico-Perfectamente Plástico

Modelo de Material Plástico con Endurecimiento Isotrópico

3. Modelo de Elementos Finitos:

q Elementos:

Este problema puede mallarse con uno o más elementos de deformación plana. La solución aquí presentada se ha obtenido usando una malla de 2x2 elementos isoparamétricos PLANE2D de 4-nodos de deformación plana (plane strain) e integración completa con 2x2 puntos de integración.

q Condiciones de Contorno de Desplazamiento:

Los estiramientos prescritos en las direcciones X e Y se definen mediante curvas de función-tiempo y se aplican como desplazamientos nodales prescritos en las líneas de nodos B-C y D-C. El valor de la función expresada en la curva de tiempo multiplica al desplazamiento prescrito de valor unitario:

Desplazamientos Prescritos UX = d_x en la Línea B-C

Desplazamientos Prescritos UY = d_y en la Línea D-C

q Tensiones Residuales:

Al final del 8º paso, a pesar de que la geometría regresa a su posición de partida y no existen cargas externas aplicadas sobre el modelo, aparecen tensiones residuales tanto en el caso perfectamente plástico como de endurecimiento isotrópico.

q Superficie de Fluencia:

En el caso perfectamente plástico, la tensión efectiva nunca supera el valor del límite elástico s_yld = 5.0 N/mm². En el modelo de material con endurecimiento isotrópico, este valor se excede claramente, alcanzando su valor máximo en el Step#6 con s_yld = 7.5 N/mm².

q Deformación Plástica Unitaria:

Revisando la deformación plástica unitaria para cada paso de la solución, se demuestra que el modelo de material con endurecimiento isotrópico reduce la magnitud de las deformaciones plásticas tal como se esperaba, ya que los valores de la tensión efectiva von Mises pueden crecer por encima del límite elástico expresado por SIGYLD.

4. Fichero de Entrada de GEOSTAR:

C*
C* COSMOS/M      Geostar V2.60
C*
C* Definición de los Parámetros del Modelo
PARASSIGN,R,REAL,2.5E-5
PARASSIGN,L,REAL,1.0

C* Defición de la Geometría
PT,1,0,0,0
CREXTR,1,1,1,X,L
SFEXTR,1,1,1,Y,L

C* Defición del tipo de elemento + modelo material
EGROUP,1,PLANE2D,0,2,2,0,1,2,0,0
MPROP,1,EX,250.0E3,NUXY,0.25,SIGYLD,5.0,ETAN,0.0

C* Malla de 2x2 elementos PLANE2D 4-nodos
M_SF,1,1,1,4,2,2,1,1

C* Condiciones de Contorno
DCR,3,UX,0.0,3,1,
DCR,1,UY,0.0,1,1,

C* Estiramiento en Dirección-X (Línea B-C)
ACTSET,TC,1
CURDEF,TIME,1,1,0,0,1,R,2,2*R,3,2*R,4,2*R,5,R,6,0,7,0,8,0
DCR,4,UX,1.0,4,1,

C* Estiramiento en Dirección-Y (Línea D-C)
ACTSET,TC,2
CURDEF,TIME,2,1,0,0,1,0,2,0,3,R,4,2*R,5,2*R,6,2*R,7,R,8,0
DCR,2,UY,1.0,2,1,

C* Parámetros del Análisis No Lineal
A_NONLINEAR,S;
STRAIN_OUT,1,1,0,0,1,1
NL_PLOT,1,8,1,0
NL_NRESP,1,9,0
NL_CONTROL,0,1
TIMES,1.0,8.0,1.0
R_NONLIN

5. Discusión de Resultados:

Hasta alcanzar el primer límite de fluencia (Step#1), el material se comporta como elástico lineal con deformación unitaria uniaxial. Las tensiones s_xx, s_yy, s_zz son también las tensiones principales s₁, s₂, s₃. La solución analítica se deriva de las tensiones elásticas lineales mediante la Ley de Hook, como sigue:

s₁ = s_xx = (1 - n) E e_xx/(1 + n) (1 - 2n)
s₂ = s_yy = n E e_xx/(1 + n) (1 - 2n)
s₃ = s_zz = n(s_xx + s_yy) = n E e_xx/(1 + n) (1 - 2n)

Al aumentar la deformación unitaria e_xx, las tensiones también aumentan hasta alcanzar la superficie de fluencia. Esto ocurre cuando las deformaciones unitarias alcanzan el siguiente valor:

e_xx = (1 + n) s_yld / E

que corresponde a las siguientes tensiones:

s_xx = (1 - n) s_yld / (1 - 2n)
s_yy = s_zz = n s_yld / (1 - 2n)

Por tanto, en el primer límite de fluencia (Step#1) se alcanzan las siguientes tensiones y deformaciones unitarias (la solución a partir del primer límite de fluencia depende del modelo de endurecimiento elegido):

e_xx = 2.5e-5
s_xx = 7.5 N/mm²
s_yy = s_zz = 2.5 N/mm²

Las siguientes figuras muestran los resultados de las componentes de tensión para los casos perfectamente plástico (ETAN = 0.0) y endurecimiento isotrópico (ETAN = 50.0e3 N/mm2). La coincidencia con la solución de referencia es total:

Componentes de Tensión para el Modelo de Material
Elástico-Perfectamente Plástico

Listado de los Puntos de la Gráfica de Tensiones anterior

Componentes de Tensión del Modelo de Material von Mises Elasto-Plástico
con Endurecimiento Isotrópico

Listado de los Puntos de la Gráfica de Tensiones anterior