Análisis Dinámico de una Tubería con cargas de presión interna armónica

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Categoría: Preprocesado, Análisis y Postprocesado
Ultima revisión: Agosto-2004

Análisis Dinámico en el dominio del tiempo (Time History Analysis) de una tubería excitada por una presión interna armónica senoidal F(t) = A•SIN(wt) = 400*SIN(1.5e4*t), con una amplitud de la función seno de valor A=400 psi, una frecuencia circular de la función seno w=1.5e4 rad./seg. y una duración de la función armónica t=0.8378e-3 segundos. La tubería de acero aleado tiene un diámetro y espesor de 8x1 pulgadas y está rígidamente unida a la base en un extremo y simplemente apoyada en el otro. El amortiguamiento crítico para los 20 primeros modos es del 5%.

Definición de la Geometría

El modelo de elementos finitos, propiedades de materiales y condiciones de contorno han sido previamente creados y está disponible para descarga desde el siguiente fichero de entrada para leer directamente en GEOSTAR mediante la orden FILE:
( Tuberia.ZIP -- 7 Kb)

Tipos de Cargas Dinámicas en el Dominio del Tiempo

El análisis modal en función del tiempo (Modal Time History Analysis) calcula la respuesta de una estructura sometida a fuerzas concentradas en nodos, cargas de presión en caras de elementos o movimientos de la base variables con el tiempo. El método modal normal se usa primero para obtener las ecuaciones de movimiento desacopladas y a continuación se evalúa la respuesta de cada modo utilizando las técnicas de integración paso-a-paso de Wilson-Theta o el Método de Newmark. Estas técnicas se basan en los resultados obtenidos en el paso previo para resolver el siguiente paso del análisis. La integración se realiza en el dominio del tiempo empezando por el tiempo del paso anterior y finalizando en el tiempo del paso actual (que es igual al incremento de tiempo de la solución). De este modo, reduciendo el incremento de tiempo entre pasos consecutivos se mejora la precisión de la solución. La respuesta del sistema se determina para cada paso de tiempo usando la siguiente transformación:

Los tipos de cargas soportados en el cálculo dinámico en función del tiempo son los siguientes:

• Excitaciones de Corta Duración (Cargas de Choque/Explosión)
Para este tipo de cargas se debe poner especial atención en incluir los modos altos de la estructura que puedan contribuir substancialmente a la solución total del esquema de superposición modal. Esto puede realizarse estimando el periodo de la señal de entrada y ajustarla frente al periodo de los modos estructurales. Un tamaño de tiempo de 1/10 del último modo considerado es adecuado para el análisis.

• Cargas Armónicas
Las señales de entrada con características senoidales pueden ser directamente consideradas por el programa bajo la opción de cargas armónicas como una combinación de ondas seno-coseno con o sin ascenso/descenso exponencial, según la siguiente ecuación:

Es muy importante entender y distinguir las diferencias entre el tipo de "carga armónica" de un análisis histórico en el dominio del tiempo y el llamado "Análisis Armónico" en el dominio de la frecuencia.

La opción de carga armónica de un análisis de historia-tiempo describe por completo el campo de desplazamiento de la estructura en cada instante de tiempo bajo una excitación que es completamente determinista con respecto al principio y al final de la excitación y por tanto incluye aspectos transitorios de la señal de entrada (es decir, condiciones iniciales).

El "Análisis Armónico" calcula la máxima respuesta de la estructura en un amplio rango de frecuencias, mientras que en la opción armónica de un estudio historia-tiempo la solución está confinada entre los valores fijos w₁ y w₂ de la ecuación anterior.

Otra ventaja de esta opción es que el usuario puede aplicar cargas en diferentes posiciones con frecuencias variables y estudiar sus efectos cuando se excitan simultáneamente.

Mientras, en "Análisis Armónico" la respuesta a cada frecuencia es debida sólo a la excitación a esa misma frecuencia y no hay posibilidad de tener simultáneamente excitaciones con diferentes frecuencias al mismo tiempo. Debido a la naturaleza del "Análisis Armónico" (es decir, en régimen permanente), la variación exponencial de la amplitud definida en la ecuación anterior no es posible. La principal ventaja de un "Análisis Armónico" es la obtención rápida de la máxima amplitud de la respuesta para un amplio rango de frecuencias.

• Cargas Periódicas
Para las cargas periódicas seguir las mismas recomendaciones de precisión de la solución que para las cargas de choque.

• Cargas Generales
Se corresponde a una excitación general con múltiples contenidos en frecuencia. Se debe poner especial atención de incluir los modos que se correspondan con contenidos de frecuencias elevadas, así como asegurar que el paso de tiempo sea menor de 1/10 del periodo del último modo a considerar en el análisis.

• Condiciones Iniciales
Se pueden definir condiciones iniciales de desplazamiento, velocidad y aceleración para cualquier tipo de excitación en un análisis de historia-tiempo. Existen dos opciones:

Cálculo de Frecuencias Naturales y Modos de Vibración

Debido a que el módulo de Análisis Dinámico Avanzado (ASTAR) está basado en el principio de la Superposición Modal, necesitamos primero calcular las frecuencias naturales de la estructura y sus modos propios de vibración usando el módulo de análisis de frecuencias (DSTAR). Para este modelo, con las 20 primeras frecuencias es suficiente. Usar el comando A_FREQ con los parámetros indicados en la figura (20 primeras frecuencias, método iterativo de Subespacios, calcular el factor de participación de masa, etc..) seguido de la orden R_FREQ para calcular las frecuencias naturales de la tubería:

Tras el cálculo de las frecuencias naturales, se debe verificar los valores obtenidos así como la forma de los modos de cada frecuencia. usar las órdenes FREQLIST, DEFPLOT y ANIMATE para listar y representar los resultados:

NOTA: es importante señalar una de las capacidades del cálculo de frecuencias para determinar si el número de frecuencias calculadas es suficiente o no para el análisis de respuesta forzada, y es la siguiente: en la orden A_FREQ se puede solicitar que el programa escriba en el fichero de resultados los Factores de Participación de Masa. En base a este factor se podrá determinar si el números de modos propios calculados es suficiente para el análisis de respuesta forzada posterior.

En GEOSTAR ir a "File > Edit a File .." y editar el fichero .OUT donde se muestran los resultados del análisis de frecuencias y los factores de Participación de Masa del modelo para los 20 primeros modos, tal como se muestra a continuación:

        ************************************************************
        *      M O D A L   B A S E   P A R T I C I P A T I O N     *
        ************************************************************

 MODE          PARTICIPATION FACTORS                     MODAL MASSES
  No.      x-dir       y-dir       z_dir          Mx        My        Mz

    1   0.21020E-07 0.39208E-07 -.97761       .44182E-15 .15373E-14 .95573    
    2   -.31164     -.71779     -.57089E-07   .97117E-01 .51522     .32591E-14
    3   0.18454E-07 0.21470E-08 0.63911E-01   .34056E-15 .46096E-17 .40846E-02
    4   0.81615     -.22350     0.57562E-08   .66610     .49951E-01 .33134E-16
    5   0.26400     -.76627     0.68146E-07   .69694E-01 .58718     .46439E-14
    6   -.45057E-07 0.12306E-06 0.39114       .20301E-14 .15144E-13 .15299    
    7   -.37692E-07 -.22143E-07 -.31430       .14207E-14 .49031E-15 .98786E-01
    8   0.23257     0.10291     -.75383E-07   .54087E-01 .10590E-01 .56826E-14
    9   0.28607E-07 0.24264E-07 -.14835       .81834E-15 .58875E-15 .22008E-01
   10   0.51870     0.32972     0.33181E-07   .26905     .10871     .11010E-14
   11   -.12100E-06 0.18849E-06 0.42913E-01   .14641E-13 .35527E-13 .18415E-02
   12   -.20222E-05 0.10173E-05 0.26678E-01   .40895E-11 .10349E-11 .71170E-03
   13   0.14001E-01 0.23598E-01 0.43040E-06   .19601E-03 .55688E-03 .18525E-12
   14   -.41674E-05 0.42419E-05 -.70518E-01   .17367E-10 .17994E-10 .49728E-02
   15   0.15171     0.24616E-01 0.49594E-06   .23016E-01 .60596E-03 .24596E-12
   16   0.17677     -.36852E-01 0.93125E-06   .31249E-01 .13581E-02 .86723E-12
   17   -.65503E-05 -.60810E-06 -.23641E-01   .42906E-10 .36978E-12 .55891E-03
   18   0.56480E-01 0.77683E-02 -.37588E-05   .31900E-02 .60346E-04 .14129E-10
   19   -.55446E-04 0.38566E-04 -.11992       .30742E-08 .14873E-08 .14381E-01
   20   -.32409E-01 -.78064E-02 -.54676E-05   .10503E-02 .60939E-04 .29894E-10
                                              __________ __________ __________

                      TOTAL EFFECTIVE MASS  = 1.2148     1.2743     1.2561

                                                          *
               INDIVIDUAL MODAL MASS            CUMULATIVE  EFFECTIVE MASS
               ---------------------            --------------------------
                    TOTAL MASS                         TOTAL MASS

 MODE        Mx          My         Mz         Cum. Mx    Cum. My    Cum. Mz
  No.       ----        ----       ----        -------    -------    -------
            MASS        MASS       MASS          MASS       MASS       MASS

    1      0.301E-15   0.105E-14   0.651        0.301E-15  0.105E-14  0.651    
    2      0.661E-01   0.351       0.222E-14    0.661E-01  0.351      0.651    
    3      0.232E-15   0.314E-17   0.278E-02    0.661E-01  0.351      0.653    
    4      0.454       0.340E-01   0.226E-16    0.520      0.385      0.653    
    5      0.475E-01   0.400       0.316E-14    0.567      0.785      0.653    
    6      0.138E-14   0.103E-13   0.104        0.567      0.785      0.758    
    7      0.967E-15   0.334E-15   0.673E-01    0.567      0.785      0.825    
    8      0.368E-01   0.721E-02   0.387E-14    0.604      0.792      0.825    
    9      0.557E-15   0.401E-15   0.150E-01    0.604      0.792      0.840    
   10      0.183       0.740E-01   0.750E-15    0.787      0.866      0.840    
   11      0.997E-14   0.242E-13   0.125E-02    0.787      0.866      0.841    
   12      0.278E-11   0.705E-12   0.485E-03    0.787      0.866      0.842    
   13      0.133E-03   0.379E-03   0.126E-12    0.787      0.866      0.842    
   14      0.118E-10   0.123E-10   0.339E-02    0.787      0.866      0.845    
   15      0.157E-01   0.413E-03   0.167E-12    0.803      0.867      0.845    
   16      0.213E-01   0.925E-03   0.590E-12    0.824      0.868      0.845    
   17      0.292E-10   0.252E-12   0.381E-03    0.824      0.868      0.845    
   18      0.217E-02   0.411E-04   0.962E-11    0.826      0.868      0.845    
   19      0.209E-08   0.101E-08   0.979E-02    0.826      0.868      0.855    
   20      0.715E-03   0.415E-04   0.204E-10    0.827      0.868      0.855

                    TOTAL EFFECTIVE MASS
                    --------------------  =     0.827      0.868      0.855
                         TOTAL MASS

 Note: Cumulative value at each mode is the sum of the values
       up to and including that mode

En análisis dinámico los resultados se consideran más exactos si la siguiente relación es mayor de 0.8:

MASA EFECTIVA TOTAL EN LA DIRECCION DE LA EXCITACION
----------------------------------------------------
MASA TOTAL

Como se aprecia en el listado de resultados, el Factor de Participación de Masa en las dirección X, Y y Z dividido por la Masa Total es mayor de 0.8, lo que significa que los resultados del análisis de respuesta en el tiempo, incluyendo los 20 primeros modos de vibración, conducirán a una solución razonable y correcta.

Definición del Análisis Dinámico Avanzado

La orden PD_ATYPE define el tipo de análisis postdinámico a realizar. En este caso queremos realizar un análisis historia-tiempo (Time History Analysis) usando los 20 primeros modos de vibración. El análisis consiste en 1000 intervalos de tiempo (Time Steps), con un incremento de tiempo de 10e-6 seg., lo que supone estudiar un tiempo total de análisis de t = 1000 x 10e-6 = 0.01 segundos:

NOTA:
Debe prestarse especial atención en incluir en el análisis suficientes modos altos, los cuales contribuyen de forma substancial a la solución total del esquema de superposición modal. Para saber el número de modos a incluir en el análisis se debe estimar el periodo de la señal de entrada y compararlo con el periodo de los modos estructurales. Se considera un Intervalo de Tiempo razonable 1/10 del periodo del último modo considerado.

Si existen dudas sobre la precisión de la solución, lo más aconsejable es "partir" el incremento de tiempo y repetir el análisis. Si la nueva respuesta no cambia apreciablemente frente a la anterior, entonces se puede asumir que los errores introducidos por la integración numérica son despreciables.

Tras definir el tipo de análisis postdinámico conviene revisar los parámetros definidos usando la orden PD_ALIST para asegurarse de que todo está correctamente definido:

Definición de la Excitación Armónica en el Dominio del Tiempo

A continuación se define la curva que asocia la presión interna de la tubería con dos ciclos de carga armónica senoidal F(t) = A•SIN(wt) = 400*SIN(1.5e4*t), con una amplitud de la función seno de valor A=400 psi, una frecuencia circular de la función seno w=1.5e4 rad./seg y una duración de la función armónica t=0.8378e-3 segundos. COSMOS/M usa la siguiente ecuación para describir una función armónica:

A continuación se aplica una carga de presión interna de valor "unitario" en las superficies de la tubería mediante la orden PSF, de forma que el valor unitario introducido se multiplica por el valor de la amplitud definida en la curva de carga activa TC#1. En este caso, la magnitud de la presión de valor 1.0 se multiplica por la función F(t) = A•SIN(wt) = 400*SIN(1.5e4*t) definida en la orden PD_CURDEF.

Asegurarse de que la carga de presión aplicada está correctamente asociada con la curva de tiempo (TC#1), por ejemplo usando la orden PLIST para listar presiones.

Definición del Amortiguamiento Modal

Seguidamente usar la orden PD_MDAMP para definir un amortiguamiento modal del 5% (relación entre el amortiguamiento y el amortiguamiento crítico) para todos los modos:

Y el modelo está listo para el análisis postdinámico -- simplemente ejecutar la orden R_DYNAMIC y listo!.

Obtención de la Máxima Respuesta

A continuación usamos la orden PD_MAXMIN para buscar los valores de respuesta máxima para un grupo de nodos en un intervalo de tiempo, seguido de PD_MAXLIST para listar la respuesta máxima obtenida:

Pero podemos obtener rápidamente los resultados máximos de la respuesta sencillamente mediante la orden DISMAX, la clave está en utilizar la orden PD_PLOT,1,1000,1 antes de ejecutar el análisis postdinámico con R_DYN. Por ejemplo, para obtener la lista de nodos con un 5% de los valores máximos del desplazamiento horizontal en la dirección del eje-X escribiremos en la consola de GEOSTAR lo siguiente: "DISMAX,0,UX,5,0,1". Y así sucesivamente iremos obteniendo los valores de máxima respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración para cada nodo y en cada intervalo de tiempo. Un resumen de valores máximos es el siguiente:

Gráficos X-Y de Respuesta

A continuación dibujamos la gráfica X-Y de Historia-Tiempo de la respuesta relativa en los nodos anteriores con desplazamientos máximos para movimientos en las tres direcciones X, Y y Z mediante las órdenes "ACTXYPOST,1,TIME,UX,184,14,1,0,nodo_184", etc.. seguido de "XYPLOT;":

Hacemos lo mismo con la gráfica X-Y de Historia-Tiempo de aceleración en el nodo #288:

Resultados de Desplazamientos

También es interesante ver el mapa de desplazamientos para distintos instantes de tiempo, esto se realiza mediante las órdenes ACTDIS y DISPLOT. Por ejemplo, nos interesa ver el reparto mediante contornos en color de los resultados de desplazamientos para el intervalo de tiempo 100, y además queremos verlo sobre la deformada:

Gráficas X-Y de Tensiones

Nos interesa obtener la gráfica X-Y de Tensiones Historia-Tiempo para el elemento #54 que se encuentra en la base de la tubería. Deberemos usar las órdenes PD_SXYSET para indicar la creación de la gráfica X-Y de tensiones vs. tiempo en la dirección del eje-X de dicho elemento, seguido de la orden PD_PLTINT indicando el intervalo de tiempo y su incremento. Y finalmente ejecutar el cálculo de tensiones con la orden R_STRESS:

Tensiones vonMises Máximas en nodos y elementos

Y por último nos interesa obtener el reparto de tensiones vonMises tanto en nodos como en elementos mediante contornos en color para el instante de tiempo en el cual las tensiones sean máximas. Esto se consigue buscando los valores máximos de la respuesta mediante la orden STRMAX. Buscaremos las máximas tensiones tanto en nodos como en elementos, así como en la cara superior (TOP) como en la cara inferior (BOTTOM) de los elementos SHELL mediante la orden: "STRMAX,0,VON,1,1,1,5,0,1". Mediante esta orden descubrimos que para el TimeStep#90 (T=0.0009 seg.) es el instante donde se producen las máximas tensiones tanto en nodos como en elementos, alcanzando un valor máximo de tensiones nodales de 600 psi en la cara inferior del elemento SHELL, y de 530 psi en la cara superior.

Soporte al Usuario de COSMOS/™ -- Nota Técnica Nº D08

ANALISIS DINAMICO DE UNA TUBERIA CON PRESION ARMONICA

Definición de la Geometría

Tipos de Cargas Dinámicas en el Dominio del Tiempo

Cálculo de Frecuencias Naturales y Modos de Vibración

Definición del Análisis Dinámico Avanzado

Definición de la Excitación Armónica en el Dominio del Tiempo

Definición del Amortiguamiento Modal

Obtención de la Máxima Respuesta

Gráficos X-Y de Respuesta

Resultados de Desplazamientos

Gráficas X-Y de Tensiones

Tensiones vonMises Máximas en nodos y elementos